केसी के प्रमेय का एक अनुप्रयोग।

An Application Caseys Theorem



समाधान:

होने देना$एम$चाप का मध्यबिंदु बनें$ केएल $अंक युक्त$ए $तथा$ सी $. द्वारा निरूपित करें$R, S, X, Y, Z, T, U, V$चित्र के अनुसार स्पर्शरेखा के बिंदु।



हमारी रणनीति यह साबित करने की है कि$ एमए = एमसी $क्योंकि तब$एम$चाप का मध्य बिंदु है$ एसी $साथ ही जो की ओर जाता है$ एसी समानांतर केएल.



केसी के प्रमेय का उपयोग करना$एम$,$ कश्मीर $,$Phi_1$, तथा$ एल $हमने प्राप्त किया$$MK cdot LU + ML cdot KU = MR cdot KL.$$तब से$ KU+LU = KL $तथा$एमके=एमएल$, यह इस प्रकार है कि$एमआर = एमके$.



समान रूप से, केसी के प्रमेय का उपयोग करते हुए$एम$,$ कश्मीर $,$Phi_2$, तथा$ एल $हमने प्राप्त किया$एमके=एमएस$.

केसी के प्रमेय के लिए$ए $,$एम$,$ सी $, तथा$Phi_1$देता है$$MA cdot CT + MC cdot AX = AC cdot MR.$$इसी प्रकार, केसी का प्रमेय के लिए$ए $,$एम$,$ सी $, तथा$Phi_2$पैदावार$$MA cdot CZ + MC cdot AY = AC cdot MS.$$हमें प्राप्त होने वाली दो समानताएँ घटाने पर$$MA cdot (CT-CZ) + MC cdot (AX-AY) = ACcdot (MR-MS)।$$तब से$CT-CZ=ZT$,$ AY-AX = XY $, तथा$MR=MK=MS$, हमने प्राप्त किया$$MA cdot ZT + MC cdot (-XY) = 0.$$परंतु$ZT=XY$, इसलिए$ एमए-एमसी = $ 0. इस प्रकार$ एमए = एमसी $और हम कर रहे हैं।